bad news 丝袜 代数几何的演进：从代数簇到概形

发布日期：2025-06-27 23:33    点击次数：142

在20世纪当代数学的浩繁分支学科中，代数几何是一门十分枢纽而又相比极端的分支，它与代数、分析、数论、几何、拓扑以及数学物理等各主要学科都有紧密的揣度，试验上，抽象代数、代数拓扑、微分拓扑、举座微分几缘何及分析学中的许多枢纽表面都是因代数几何议论的需要而提倡的。因此代数几安在数学中起着一种中心纽带的作用，是当代数学统一化趋势的主要体现者。关联词从19世纪到20世纪的中世，代数几何其实一直是在一个笼统严格逻辑基础的环境中艰辛地上前发展的。最终，数学家格罗滕迪克（Grothendieck）在1960年代用概形(scheme)表面为代数几何奠定了平定的逻辑基础bad news 丝袜，从而促进了当代数学的大发展。本文简要回归了从代数簇到当代的概形表面的代数几何发展史。

一、在19世纪之前的发祥

经典代数几何的主要议论对象是“代数簇”(algebraic variety)，最简便的代数簇(也称为代数集)是一组多元多项式的零点王人集。

当其中的各个多元多项式都是一次多项式时，那么它便是线性代数中所议论的线性方程组，此时的代数簇便是咱们都老练的线性方程组的解空间。关联词当多项式不是一次时，代数簇的议论就绝顶的复杂，需要用到代数、几何与分析等学科中的大量数学按序和用具。

对代数簇的议论试验上从古代希腊就动手了，古希腊数学家们所老练的直线、圆、圆锥弧线、三次弧线都是最简便的代数弧线，而平面、球面、柱面和二次曲面都是最简便的代数曲面，这些代数弧线和代数曲面都属于只用一个多元多项式来细办法代数簇。在莫得直角坐标系的条款下，阿波罗尼乌斯(Apollonius)利用了在今天看来是很愚顽的欧氏几何按序，对圆锥弧线作了十分详备的议论，发现了它的许多基人道质。

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图1：从圆锥弧线到二次曲面

到了近代，法国数学家笛卡尔(Descartes)和费马(Fermat)在利用解析几何的按序来议论放荡代数弧线方程的时候，事情就发生了质的飞跃。古代希腊数学家由于莫得代数用具，他们只可局限于议论低次代数方程所示意的弧线或曲面，而有了解析几何之后，在表面上就不错商议放荡次数的代数弧线或代数曲面，从而就不错把悉数的几何问题都摇荡为代数问题来惩办。东说念主们动手议论平面代数弧线 和空间代数曲面 ，况且发现了在坐标变换下弧线与曲面方程次数的不变性。费马诠释了悉数非退化的二次代数弧线都是圆锥弧线。微积分的发明者之一、数学家牛顿还对三次平面代数弧线进行了初步的分类(共有72种)，而18世纪的大数学家欧拉(Euler)则对悉数的二次代数曲面进行了分类。

在17世纪时，德沙格(Desargues)通过议论画家的透视按序而形成了射影对应的成见，他还引进了无限远点的成见。在普通的欧氏平面和空间中加入了无限远点后，就得到了紧致的射影平面和3维射影空间，它们是许多经典代数簇地点的空间。另一方面，欧拉的虚数成见的引入也进一步完成了代数方面的“阻塞化”（举例一元代数方程自然不一定有实根，但老是有复根），由此不错简化许多数学命题的表述。举例在普通的欧氏平面中，非退化的二次代数弧线要分为椭圆、双弧线和抛物线这三种弧线，而在复射影平面中，非退化的二次代数弧线只消一种，况且三次代数弧线不是牛顿所分的72种类型，而是只消三种弧线。

牛顿和莱布尼茨(Leibniz)还用所谓的“消去法”得到了细目两条代数弧线相交点的方程组（这些方程组在大学高档代数课本中被称为“结式”方程组）。在此基础上，数学家贝祖(Bézout)诠释了知名的贝祖定理：设C和C’是次数永诀为m和n的平面射影复代数弧线，则C和C’相交于mn个点(计入重数)。举例从名义上看，复射影平面内的一条直线与一条抛物线的相交情形一共有四种：交于两点、交于小数、相切与无交点。但其实直线与抛物线交于小数时，它们还相交于抛物线上的无限远点，而相切不错贯通成它们相交于两个重合在一说念的点，至于不相交的情形，则不错作为是它们相交于复平面上的两个被称为“圆点”的虚的无限远点。这样，一次的直线与二次的抛物线在复射影平面上总有1×2＝2个交点。又如一个椭圆与一条三次弧线老是相交于2×3＝6个交点等等。贝祖定理试验上是代数几何中相交表面的起源。

代数几何的第二个主要开头是分析学中的椭圆积分表面。所谓椭圆积分，是指如下模式的积分：

其中的 是有理函数， 是3次或4次多项式。议论椭圆积分的领先办法是为了揣测椭圆的周长，咱们在微积分里仍是知说念，访佛于求椭圆周长的这种定积分是莫得原函数的，也便是“积不出来”的积分，它们只可通过近似揣测的按序来求出定积分的值。欧拉对一个相比简便椭圆积分，也曾诠释了一个与反三角函数积分性质相似的“加法公式”：

这个加法公式其实是一类十分枢纽的代数弧线——椭圆弧线上群结构的萌芽。

二、19世纪对代数簇的初步议论

19世纪是射影几何的黄金时期，以庞斯莱(Poncelet)为代表的一批数学家建立了射影几何的系统表面，总结和整理了大量的射影几何命题和按序，极端是射影变换的表面。举例不错将圆锥弧线作为是两个互相射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。东说念主们发现了交比这一射影变换下的不变量，议论的对象也从“点几何”扩大到了“线几何”，况且动手议论射影空间里由两个代数曲面相交而产生的空间弧线。

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图2：庞斯莱与射影几何的黄金时期

东说念主们不错诠释在每个三次代数曲面上都有27条直线，以及每条非退化四次平面代数弧线都有28条与该代数弧线同期相切两次的双切线，而很有名的普吕克(Plüker)公式则刻画了平面代数弧线上的奇点性质。

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图3：在每个三次代数曲面上都有27条直线

这个阶段的议论着力还包括了：直纹曲面、2次直线簇、格拉斯曼簇(Grassmann variety)、塞格雷(Segre)的代数簇乘积的界说等。此时所议论的代数簇的维数也动手打破3维，进入到了放荡的n维。极端是数学家们动手有了“模空间”的想法，即探讨一组隆盛归并条款（举例方程的次数疏浚）的代数弧线王人集，它们的全体又不错作为是另一个更高维数的射影空间里的一个代数簇。

在这时的射影几何表面里，有一些触及到计数几何(enumerative geometry)的定理，其中有一个很知名的定理是说：与5条已知圆锥弧线都相切的圆锥弧线一共有3264条。

在19世纪初，阿贝尔(Abel)又将椭圆积分大幅度地履行成了阿贝尔积分(即有理函数积分)

其中的 是有理函数， 与 必须隆盛代数方程(即代数弧线)

其中的函数 是多项式。况且阿贝尔也得到了对于阿贝尔积分的访佛的“加法公式”。这个公式试验上炫耀了用积分模式示意的代数弧线上除子(divisor)的等价性关系，它在其后黎曼等东说念主的手中进一步发展成为代数弧线上的阿贝尔簇(Abelian variety)的表面。阿贝尔簇是一种在当代数论中十分枢纽的代数簇。

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图4：伟大的数学家黎曼

黎曼是19世纪最伟大的数学家。他在议论阿贝尔积分表面的历程中提倡了内蕴的“黎曼曲面”的成见和黎曼曲面上代数函数的表面。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数弧线紧密相干的一种复积分，当今在复平面内，若是是一个二元复多项式，那么＝就界说了一条复代数弧线，详细在这里不错取复数值的x和y都是实2维的复变量，因此复平面就不错作为是实4维空间，而相等于两个实数等式的复数等式＝试验上又细目了两个4维空间中的曲面，由于每加多一个实数等式就相等于减少一个几何维数，于是复代数弧线＝试验上便是一个4－2＝2维的实曲面。这样，每一条复代数弧线都对应了一个抽象的被称为黎曼曲面的几何对象。

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图5：黎曼曲面

黎曼的启动方向是对黎曼曲面上悉数的阿贝尔积分进行分类，由此开拔他得到了一系列刻画黎曼曲面性质的枢纽定理。由黎曼曲面与代数弧线的逐一双应关系可知，他试验上是得到了不少对于代数弧线表面的枢纽着力，因此咱们不错讲，是黎曼始创了用分析来议论代数弧线的按序。

黎曼初次发现了“亏格”这一当代几何的基本成见(直不雅地讲它对应了几何对象上“洞”的个数)，并提倡了代数几何中最基本的双有理变换的念念想。若是代数弧线 上的点 与 上的点 之间有以下的有理变换(对应)关系

那么就称这两条代数弧线是双有理等价的。双有理变换是一种比射影变换愈加闲居的变换，它或者保持代数弧线的亏格 不变，况且此时两条代数弧线上的有理函数域一定是同构的。数学家们在其后慢慢知道到：不错通过有理函数域这一代数对象，来试验刻画和掌控代数弧线这一几何对象。因此这试验上便是建立了几何与代数之间的基本揣度。从黎曼的时期到当今，从某种进程上不错说，代数几何的主要按序便是通过议论代数簇上的有理函数域来得到代数簇本人的性质。黎曼和他的学生罗赫一说念，还发现了知名的代数弧线上的黎曼-罗赫定理：

其中 是代数弧线上的放荡除子( 是整数， 是代数弧线上的点)， 是 的次数， 是由代数弧线上隆盛一定条款的全体有理函数构成的线性空间 的维数，l（K－D）的真谛是访佛的， 是由代数弧线上的微分模式所细办法典则除子，上述等式右边的 便是代数弧线的亏格。这个定理反应了代数弧线上的某些由隆盛一定条款的有理函数构成的线性空间的性质是怎么受到亏格 这一几何不变量逼迫的。这个深切定理其后在20世纪被履行到了高维代数簇的情形，并胜仗导致了知名的阿蒂亚-辛格方针定理的发现。

也许咱们不错这样以为，黎曼在1854年的知名演讲中所给出n维黎曼流形的初步成见，不单是是为了议论物理学意旨上几何空间的需要，其实亦然在为探索一般的代数簇性质所作念的准备使命。黎曼在历史上第一次发现，在一般的高维微分流形上也不错诞生放荡的度量。他经过仔细的推算，发现了刻画黎曼流形局部几何性质的主要不变量——黎曼曲率张量 。这些张量试验上成为了举座微分几何发展的起点，况且最终都阐明过某种变化了的模式而进入到了代数几何的表面中。愈加令东说念主难以置信的是，黎曼在议论数论时所提倡的大名鼎鼎的“黎曼猜想”，其后竟也变成了鞭策代数几何发展的刚硬能源。所谓的黎曼猜想是说：

“

复变函数黎曼 函数

的全部非庸俗复零点的实部都等于。黎曼猜想是一个内涵极其>丰富的猜想，它是当代数学中还莫得被诠释的最枢纽的猜想。

”

代数数论其实亦然代数几何的第三个主要开头。为了议论代数数域的需要，19世纪的数学家克罗内克(Kronecker)和谢意金(Dedekind)等东说念主引入期许、赋值和除子等基本成见。以这些数学家为代表的“代数派别”的使命方向是设法对黎曼用分析按序给出的结果作出纯代数的诠释，千真万确，这对代数几何这门学科的性质来讲是至关枢纽的。

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图6：克罗内克(左)和谢意金

如前所述，每个代数弧线(或黎曼曲面)的双有理(或共形)等价类都对应和细目了一个同构的有理函数域L，它是复数域C的有限膨胀。若是已知代数弧线(或黎曼曲面)S， 每个点都不错细目一个破碎赋值 ： (Z是整数集)。谢意金和韦伯(Weber)的想法是将这个历程倒过来：从给定的的域的有限膨胀L / C开拔， 具体地构造出一个代数弧线(或黎曼曲面)来， 使得它的有理函数域恰恰便是这个域L。从这个勇猛的想法里咱们不错看到当代概形成见的雏形：从代数的对象开拔来构造几何对象。谢意金和韦伯在用域L构造代数弧线时，将L上的每个非庸俗的破碎赋值都界说为“L所对应的代数弧线(或黎曼曲面)S的一个点”，从而就得到了一个抽象的“代数弧线(或黎曼曲面)”。自然，构造这种抽象的“代数弧线”并不是在作念败兴的数学游戏。在议论代数簇的双有理分类问题中，每每需要在归并个等价类中寻找一个性质相比好的代表元素，而这个元素往往便是通过这种奇怪的神气东说念主为地构造出来。举例1939年扎里斯基在诠释代数曲面的奇点解消定理时，亦然利用了这个按序。

与此同期，以马克斯·诺特(Max Noether)和克莱布施(Clebsch)为代表的“几何派别”连续从经典射影几何的角度议论复代数弧线和复代数簇，他们他们进一步走漏和发展了黎曼的对于双有理变换和黎曼-罗赫定理的表面，况且发现了平面代数弧线奇点解消的基本按序，即所谓的二次变换“胀开”(blowing up)的按序。

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图7：马克斯·诺特和平面代数弧线的奇点解消按序

三、19世纪末到20世纪早期对代数簇的深入议论

从19世纪末期动手，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡(Picard)和庞加莱(Poincaré)为代表“分析派别”试图将黎曼的复代数弧线表面履行到复代数曲面上。自然这里的(复的)维数只是加多了一维，可是与代数弧线的情形绝对不同，议论代数曲面需要克服许多贫瘠，难度极大。举例在复三维的空间中，若是g(x，y.z)是一个三元复多项式，那么g(x，y.z)＝0便是一个复代数曲面。与复代数弧线访佛，g(x，y.z)＝0试验上细目了实6维空间中的一个6－2＝4维的实微分流形。

访佛于黎曼议论上的有理函数的积分

皮卡议论代数曲面 上有理函数的积分

他用形如 ( 为常数)的一组平面去截割上述代数曲面， 在所得的代数弧线上再利用黎曼的结果， 然后分析当 变化时的情形，得到了一些枢纽的结果。

与代数弧线一样，代数曲面上有理函数的积分也受曲面的拓扑性质的逼迫。举例对于曲面 上与微分模式相干的典则除子 ，由它所细办法函数空间的维数隆盛 ，其中的 被称为代数曲面的几何亏格。与代数弧线只消单一的亏格 不同，刻画代数曲面除了几何亏格 之外，还需要算术亏格 等其他的不变量。

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图8：庞加莱创立了代数拓扑中的同珍视论

在议论代数曲面的历程中，绝顶需要了解高维流形的拓扑性质。庞加莱为此始创了代数拓扑的同调(homology)表面。为了弄显现黎曼所说的高维“贝蒂(Betti)数”到底是什么，庞加莱动手建立单纯复形的同珍视论，以便或者严格地诠释黎曼的直不雅猜想。他从1895动手，写出了知名的对于同珍视论的一系列文章。那时，庞加莱还莫得效群论的话语，其后在1930年代经E. 诺特(Emmy Noether)建议，东说念主们才改用了群论的术语。在今天，咱们不错用简练的话语来描摹庞加莱所引入的基本成见：先将代数簇 进行三角剖分后得到单纯形 ，然后界说规模运算同态 ，从而不错得到单纯复形

由于有基本的等式  ， 是以或者构造单纯同调群(其实亦然线性空间)

这样，第 个贝蒂数便是该线性空间的维数

它们都是拓扑不变量，不错用来刻画代数簇的几何性质。

接着莱夫谢茨(Lefchetz)在20世纪初期进一步用这个同珍视论动手议论复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深切的定理。对于代数曲面表面议论的最主要的孝顺如故来自于知名的“意大利派别”。这个派别的三个主要代表东说念主物是卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)、恩里奎斯(Enriques)和塞维里(Severi)，他们在20世纪初期用天才的几何直观和轻易的几何时期，概括利用包括分析与拓扑按序在内的各式按序创造了复代数曲面的一个绝顶深切的表面，包括代数曲面的奇点解消、代数曲面的除子与线性系的经典表面、代数曲面的黎曼-罗赫定理的初步模式以及代数曲面的模空间等等。

但同期意大利派别的使命也有一个很大的过错，那便是穷乏一个统一的逻辑基础，一些“诠释”要依赖于数学家心目中某种神秘的几何直不雅，因而笼统严实性。和数学史上常见的情形一样，这种逻辑基础不稳的情景对于视严格为生命的数学家们来说是一件极端纠结的事，它严重糟塌了代数几何的上前发展。

四、将抽象代数按序引入到代数几何中

要的确严格地建立起代数几何的推理逻辑基础，离不开抽象代数，这是因为抽象代数或者在最一般的情形中准确地描摹代数簇的性质。在1900到1930年之间，仍是动手出现了一些抽象代数的表面，包括群、环、域和模等表面。群论主要开头于19世纪的伽罗瓦(Galois)表面，而环与期许的成见则来自于谢意金的代数数论，它们的最早雏形是数域的代数整数环过甚期许的成见。克罗内克不仅从代数数论中抽象出了一般的环与期许的成见，况且拉斯克(Lasker)在20世纪初期就发现了期许与代数簇之间一些最基本的自然揣度，举例不可约仿射簇所对应的“坐标环(coordinate ring)”一定是整环，而不可约仿射簇的几何维数试验上就等于这个整环的商域在复数域上的超过次数等。

当今咱们来解释环(ring)为什么对代数几何来说是很枢纽的。在由全体 元多项式构成的多项式环 中，任何由 个多元多项式所细办法代数集 也细目了一个期许：

所谓代数集 的坐标环，便是由这个期许所细办法商环

它也不错作为是 上全体 元多项式函数的王人集。当 弗成示意成两个更小的代数集的并集(即不可约)时，就称 是一个仿射簇(affine variety)。此时的期许一定是一个素期许，而相应的坐标环是一个整环。因此咱们看到，在仿射簇与坐标环之间有逐一双应的关系：

仿射簇坐标环

若是咱们将些许个仿射簇相宜地“拼贴”在一说念， 那么就得到了一个传统意旨上的代数簇。因此仿射簇是代数簇的基本构成部分。举例 维射影空间 便是一个相比简便的代数簇，它是由 个普通 维欧氏空间经过拼贴而成的。

另一方面，知名的希尔伯特零点定理是说： 中的极大期许和 的点是逐一双应的，因此坐标环的极大期许就与仿射簇 的点逐一双应，这其实也意味着不错左证代数的信息(即期许)来构造几何的对象。这是其后概形成见或者产生的最原始的想法。

克鲁尔(Krull)进一步建立了对于环的期许方面相比系统的表面，包括环的局部化(localization)的成见、整闭环的性质、赋值表面和克鲁尔维数等内容。对代数几何来说，环的局部化成见短长常基本的。对于仿射簇 来说，整环 的商域是它的有理函数域 。对 上的任何点 ，都有一个局部环：

其后东说念主们发现，这些局部环的全体构成了不错给出仿射簇 几何特征的结构层(structure sheaf)。

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图9：E. 诺特建立了抽象代数的基本表面框架

E. 诺特是20世纪最伟大的女数学家，她亦然代数几何学家马克斯·诺特的女儿。在E. 诺特之前，代数学基本上只局限在实数域和复数域中进行议论，是E. 诺特最先知道到代数结构是代数学中的首要成见，她对建立起抽象代数学的基本表面框架起着主要的作用。范德瓦尔登(van der Waerden)所写的两卷名著《代数学》便是为系统总结E. 诺特和E. 阿丁(E. Artin)的环论以过甚他抽象代数表面而写的。E. 诺特将谢意金的代数数域的期许剖析表面履行到一般的环上，得到了许多像“任何期许均可示意为准素期许的交”这样的基本定理，极端是对于“诺特环”这样的在代数几何中最常用到的成见和相干表面。

范德瓦尔登也对代数几何的逻辑基础建立，有过枢纽的孝顺，他在1930年代写了一系列的文章，用抽象代数的按序解释了以往代数几何学家们直不雅朦拢的“一般点(generic point)”和“特殊化(specialization)”的的确含义，给出了在相交表面中最基本的代数簇相交重数(intersection multiplicity)的严格界说。尤其值得一提的是：范德瓦尔登的学生和主要互助者周炜良也参与到了代数几何基础的重建使命中。周炜良是一位诞生于上海的中国数学家，他的一世对代数几何有着许多基本的孝顺，其中最有名的是对于解析簇与射影簇等价的周定理，他还诠释了代数簇上闭链(cycle)的有理等价性定理，从而就不错界说一种枢纽的环——周环(Chow Ring)，它当今是相交表面中的一个基础术语。

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图10：范德瓦尔登与周炜良

另一位在代数几何中大鸿沟引入抽象代数按序的数学家是扎里斯基(Zariski)。扎里斯基本来是意大利派别三位主要代表大师的学生，他对经他整理的意大利派别着力的诠释严实性不及而感到不安和失意，是以他决定用抽象代数的按序来再行给出悉数的诠释。动手的时候，扎里斯基只是是将几何的话语“翻译”成代数的话语，可是他很泄气志到将经典代数几何里的定理平行地翻译成那时的抽象代数话语是远远不够的，许多时候扎里斯基必须我方再行发明新的抽象代数成见，并建立相干的抽象代数表面，智商隆盛描摹代数簇复杂性质的需要。举例在给出枢纽的代数曲面奇点解消定理诠释的时候，扎里斯基就第一次告捷地将环论中的整闭包的表面与克鲁尔的赋值环的表面利用到了代数几何中，况且还创造了一个被称为“正规(normal)”的新的抽象代数成见。到其后，在代数几何里所需要用到的交换环学问是如斯之多，以致于扎里斯基和他的互助者特意写了两卷《交换代数》，来作为东说念主们学习代数几何的霸术学问。

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图11：扎里斯基在代数几何中引入抽象代数按序

扎里斯基还界说了在代数几何中非常的“扎里斯基拓扑”的成见，其中一律将代数集的补集都界说为“开集”。咱们不错想象，任何两个这样的开集的错杂都不是空集，因此在这种相比粗心的拓扑里就不会有往往点集拓扑中的豪斯多夫(Hausdorff)分离性公理。尽管如斯，扎里斯基拓扑却绝顶顺应议论代数簇性质的需要。

五、举座微分几何按序的引入

黎曼用分析的按序议论代数簇的传统深深地影响了20世纪对于代数几何的议论。最先，举座微分几何的前驱外尔(Weyl)在议论克莱因(F. Klein)对于黎曼曲面的文章基础上，在1913年写了《黎曼曲面的成见》这本贫窭要的文章，其中初次给出了黎曼曲面的当代界说，系统整理了黎曼曲面的解析表面。从外尔给出的黎曼曲面内蕴界说开拔，东说念主们就不珍贵到高维微分流形的一般界说，即微分流形是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，况且悉数的坐标邻域之间的治愈函数都是可微函数。自然，代数簇不一定是微分流形，因为它不错包含奇点。关联词从议论微分流形的历程中所产生的几何按序和表面大多都不错被用到代数几何的议论当中。试验上，微分流形的界说便是其后的概形界说的起源，这两个界说都强调不依赖外部的空间而零丁存在，而且局部都是与相比简便的几何对象同胚(或同构)。

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图12：举座微分几何的前驱外尔

通常是在20世纪早期，列维-王人维塔(Levi-Civita)为了弄显现黎曼所发现的复杂的曲率张量的的确含义，而提倡了黎曼流形中“平行移动”的简便成见。外尔则进一步将它发展成为“仿射结伙(affine connection)”这一当代微分几何的基本成见。所谓“结伙”，简便地说便是切空间的求导限定，它在本体上仍是与空间的度量无关。就像黎曼将度量从空间均分离出来一样，外尔也将结伙从度量当均分离了出来。

举座微分几何另一位前驱是法国数学家E. 嘉当(E. Cartan)，E. 嘉当接下来是将结伙的成见发展成为“广义空间”的基本成见。他的知名的“行为标架”按序其实便是“向量丛(vector bundle)”成见的雏形，一般用以下记号来示意向量丛：

其中的示意从向量丛 到微分流形 的投影映射，对 上的每个点 来说，它们的“纤维” 都是向量空间(举例每个点 的切空间便是这样的向量空间，它们构成了 的切丛)。而刻画流形迤逦进程的结伙成见就不错履行成向量丛上的结伙。其后东说念主们又从向量丛的表面中抽象出了更一般的“纤维丛(fiber bundle)”表面。

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图13：举座微分几何的前驱E. 嘉当

E. 嘉当(以及先前的庞加莱)还引入了很枢纽的微分模式(也称为“外微分模式”)：

E. 嘉当利用了微分模式来示意向量丛上的结伙。在20世纪的20年代，那时险些悉数的微分几何学家都只是使用张量分析，而只消E. 嘉当在微分几何中使用微分模式的按序，这短长常超前的。E. 嘉当在议论李群(一种特殊的微分流形)的举座拓扑性质的时候，发现从微分模式中不错胜仗得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深切揣度。E. 嘉当作出了一个十分枢纽的猜想：由微分流形 上的悉数微分模式细办法德拉姆(de Rham)同调群与 的上同调群(cohomology group)应该是同构的，即有

“同构”这一术语的真谛是说，在代数上这两个群是绝对一样的。

德拉姆是E. 嘉当的学生，在1931年，德拉姆诠释了上述猜想，使之的确成为了“德拉姆定理”。这个定理是当代几何发展史上的一个里程碑。另一位数学家霍奇(Hodge)则进一步弄显现了德拉姆同调群的里面结构，为这个群中的每一个元素都找到了长入（微分）模式来作为其代表，由于长入模式在椭圆型偏微分算子的作用下第于零，从而不错利用偏微分方程的按序来愈加准确地示意代数簇的几何不变量。

这里要极端先容一下咱们老练的陈省身先生对于代数几何所作出的枢纽孝顺。陈省身早年亦然E. 嘉当的学生，他袭取了后者的纤维空间的念念想，况且长期在微分几何中一心一意地利用微分模式的按序。陈省身在1944年用微分模式内蕴地诠释了高维流形 的高斯-博内(Gauss-Bonnet)定理：

这个等式左边的是 的球丛上的曲率微分模式，右边是流形 的欧拉示性数，这个枢纽定理标明了流形局部的分析不变量与举座的拓扑不变量之间的紧密揣度。

接下来，陈省身先生将诠释高斯-博内定理中的念念想用到了一般的复流形上， 用复流形 的纤维丛 上的微分模式细目了 的上同调群的元素——“陈(省身示性)类”：

这个极其枢纽的使命建立起了纤维丛的上同调群与微分流形的上同调群之间的胜仗揣度，炫耀了纤维丛对于描摹微分流形的举座拓扑性质的枢纽性。其后东说念主们慢慢发现，陈类是抒发高维代数簇几何性质（举例高维的黎曼-罗赫定理）的最基本的用具。

而要让纤维丛的确进入代数几何，靠的是另一位数学家韦伊(Weil)的发奋。韦伊是陈省身先生一世的诤友，有十年的时辰他们在一说念使命，共同探讨了纤维丛的表面。在1950年，韦伊最先发现了纤维丛表面不错用到代数几何中，这是因为他看出：复流形上的每个除子都对应了一个线丛(line bundle，即秩为1的向量丛)，而反应流形拓扑性质的主要方针欧拉-庞加莱示性数也必须用流形切丛的陈类来抒发。接着很快，高维代数簇的黎曼-罗赫定理也被其他数学家通过利用了纤维丛和层论(sheaf theory)而发现和诠释。这样，纤维丛表面就和差未几同期发展起来的层论交融在一说念，成为了鞭策代数几何上前发展的强有劲刀兵。

六、当代数论中的韦伊猜想

韦伊不错说是20世纪当代数学中涉猎最广的数学家，他对险些悉数的基础数学主要分支学科都作出了首要的孝顺，它们永诀是抽象代数、数论、算术代数几何、代数几何、举座微分几何、代数拓扑、李群和李代数、分析学等领域。韦伊议论代数几何的动机主要开头于数论——他很早就想诠释知名的黎曼猜想。

韦伊接受的是间接间接的战略。简便说来便是先对一些相比简便的域(举例有限域)诠释黎曼猜想，从中取得训导，将来再探讨最难拼集的复数域上的黎曼猜想。早在1923年，E. 阿丁(Artin)类比于谢意金的代数数域的黎曼 函数，界说了有限域上的黎曼 函数：

其中的 是一个次数为 的多项式，而这里的 是与有限域对应的某条代数弧线的亏格(其后东说念主们发现上述由E. 阿丁界说的黎曼 函数所隆盛的函数方程恰恰便是对于该代数弧线的黎曼-罗赫定理)。包括E. 阿丁和韦伊在内的一些数学家猜想：对有限域 上的代数弧线来说，多项式 的全部零点都在圆 上，而这恰是有限域上代数弧线的黎曼猜想。

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图14：20世纪的大数学家韦伊

为了诠释这个猜想，韦伊需要使用经典代数几何的按序，是以他必须惩办经典代数几何的基本成见迷糊不清、表面基础不稳的严重问题。为此韦伊在1946年特意写了一册书《代数几何基础》，在这部枢纽的文章中，韦伊仿照微分流形的界说，最先提倡了内蕴的“抽象代数簇”的界说，他用有理函数作为治愈函数，将局部的相比简便的仿射簇粘贴在一说念，成为了一个抽象代数簇，从而透彻开脱了外皮射影空间的拘谨，极地面扩展了代数几何的适用范围。韦伊还在他的抽象代数簇上初次使用了扎里斯基拓扑。在此基础上，韦伊用我方的神气建立了一整套代数几何的基础表面。他用交换代数的话语，引入了代数几何中的一批枢纽的成见，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。自然从名义上看，韦伊所建立的这些表面其后好象都被概形表面绝对取代了，但其实它们只是换了一种模式，最终都被采纳进了概形表面中。

1946年，在上头这本书出书之后不久，韦伊终于诠释出了他的对于有限域上代数弧线的黎曼猜想。然后在1948年，韦伊左证他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇等高维代数簇在有限域上的点数所作念的揣测结果，况且在拓扑学的启发下，提倡了高维代数簇上与黎曼猜想访佛的“韦伊猜想”。这个令东说念主嗅觉是感天动地的韦伊猜想，炫耀了在有限域上代数簇的算术(arithmetic，即数论)性质与复数域上的代数簇拓扑性质之间具有绝顶深切的揣度。

七、层论的用处

要想诠释韦伊猜想，数学家们需要太多的数学用具，其中就包括了还莫得被创造出来的概形表面。概形的成见中包含了两个方面的内容，第一个内容是抽象的“几何对象”，第二个内容是它上头的各式“函数”，也便是层。层论最早是由法国数学家勒雷(Leray)在20世纪40年代初提倡的，他在二战前主要议论偏微分方程，二战中他被关进监狱，为幸免让德军派去作念应用性的议论，他在监狱里只议论属于基础数学的层论。

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图15：勒雷创立了层论

层的成见开头于复变函数论中的全纯函数(即解析函数)，层所包含的元素既不错是函数，也不错是包括了群、环和纤维丛的截面(section)等在内的其他各式东西，因此它不错作为是纤维丛的某种履行。层 的界说梗概是：设 是拓扑空间， 是开集，记 是 上“函数”的王人集。在 的开集包含关系 之间，有逼迫（restriction）同态 ： ，使得打开集 上的“函数”一定亦然位于其中的小开集 上的“函数”，况且若是 是 的开隐蔽，况且对任何 与，有“函数”绝顶的关系，则存在独一的“函数” ，使得对任何，都有 。

层的优点是，它就像一个纯真的百变魔术箱，不错包含各式几何与拓扑方面的信息。举例通过建立层的上同调群，不错从局部的信息来得到拓扑空间举座的信息，况且还不错处理带有奇点的复杂的几何空间。20世纪50年代，数学家H. 嘉当(E. 嘉当的男儿)在议论多复变函数论的时候，发现勒雷的层论绝顶有效。H. 嘉当发现复代数几何满意大利派别的许多不变量都不错通过层的上同调群话语，很容易地示意出来。举例，若是设

是 维紧致连通复凯勒(Kähler)流形 上结构层 的复形，那么和代数拓扑中的单纯复形一样，不错界说层的上同调群

这时维数 便是的几何亏格，而它的算术亏格则是

H. 嘉当还进一步给出了环层空间(ringed spaces)的界说，它的作用是将简便的空间“粘贴”在一说念。H. 嘉当还与艾伦伯格(Eilenberg)一说念创立了同调代数的基本表面体系，诠释了同调代数中的许多定理。同调代数与交换代数一说念，成为了当代代数几何最基本的话语。

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图16：H. 嘉当与多复变函数论、同调代数

另一位大肆鞭策让层论进入代数几何的数学家是塞尔(Serre)。塞尔也曾在早年议论了拓扑学中绝顶贫瘠的球面同伦群的揣测问题，以后他就参与到了H. 嘉当指引的多复变函数论和层论的议论中。和不少数学家一样，其实塞尔的最终议论方向之一亦然想诠释韦伊猜想。塞尔在一种允许有奇点的施泰因(Stein)复流形上引入了十分枢纽的凝合层(coherence sheaf)的成见(它不错作为是纤维丛的某种模拟)，凝合层的上同调群具有十分讲究的性质。接着塞尔又看出层论也不错用在比施泰因流形更特殊的复代数簇上，于是他就立即系统地将层论大鸿沟地利用到了代数几何中。

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图17：塞尔在代数几何中大鸿沟引入了层论

塞尔为代数几何构念念了一个最基本的议论对象，称为“塞尔簇(Serre Variety)”，其中充分采纳了H. 嘉当的环层空间的成见。塞尔以为这是一个比韦伊的毋庸层论的抽象代数簇更简便的成见。咱们不错这样贯通：塞尔所作念的这一切，其实相等于是将举座微分几何中的纤维丛表面的念念想移植到了代数几何中。塞尔还对他的塞尔簇诠释了知名的“塞尔对偶性定理”

它当今是揣测概形的层的上同调群的基本公式。不外和韦伊的抽象代数簇一样，塞尔簇也有我方的过错，举例有一个触及“绝对性(complete)”的附加条款就逼迫了塞尔簇的使用范围。

八、概形表面的创立

试验上早在20世纪50年代的时候，就仍是有东说念主猜测了概形这个比塞尔簇更基础的成见，可是莫得东说念主的确敢去试验建立这个概形表面。这是因为若是要将概形作为代数几何的最基本的议论对象，那么就等于是将迄今为止建立起来的悉数这个词代数几何的表面大厦推倒重来，况且构建这个空前浩繁的概形表面，需要概括一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科的大量主要着力，以其使命量之庞大，就十分需要一个像格罗滕迪克那样的超等天才式的东说念主物。

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图18：伟大的数学家格罗滕迪克

1928年3月28日，格罗滕迪克诞生于德国柏林的一个犹太家庭，他在动手其数学议论的糊口时，所议论的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。在这之后，格罗滕迪克插足到了同调代数的议论中。亦然在阿谁时期，他动手了与塞尔的历久知名通讯。从塞尔以过甚他的数学家那处，格罗滕迪克学到了许多当代数学和代数几何的基本学问，转而对代数几何和数论产生了浓厚的有趣有趣。他议论建立代数几何基础表面的热烈动机之一其实亦然为了想诠释阿谁与黎曼猜想访佛的有限域上高维代数簇的韦伊猜想。

前边也曾谈到在仿射簇 和它的坐标环之间有逐一双应的关系，因此对仿射簇的几何议论也就不错摇荡为对相应的坐标环的代数议论。关联词坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个特意的称呼唤“ -代数( -algebra)”。由于不是每个交换环都不错成为仿射簇的坐标环(举例整数环Z便是如斯)，是以格罗腾迪克就想用放荡的交换环来构造一种访佛于仿射簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都不错成为这种抽象几何对象的“坐标环”。

塞尔也曾在他的塞尔簇表面中诠释过一个枢纽的结果：交换环 的局部化的成见不错导致产生由 的悉数极大期许构成的极大期许谱 上的一个层。咱们也曾说过，仿射簇坐标环的极大期许与仿射簇上的点亦然逐一双应的，由此东说念主们容易猜测：用极大期许谱 来作为与交换环 对应的“几何对象”，况且但愿交换环之间的同态映射 ： 对应于这种新“几何对象”之间的正则映射。关联词缺憾的是， 的极大期许 的逆像 并不老是 中的极大期许。可是一朝当东说念主们把极大期许换成了素期许，这个问题便不存在了（在大学抽象代数课程里有一个基本的习题：诠释素期许的同态逆像一定是素期许）。

在1957年傍边，卡吉耶(Pierre Cartier) 建议用交换环 的全体素期许的王人集 （称为素谱）来作为与 对应的“几何对象”，它应该是经典仿射簇的某种抽象的履行。这个简便的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的起点。这是因为每个交换环 的素谱 连同它上头的结构层 一说念，都或者构成一个环层空间 ，这个环层空间便是最简便的“概形”——仿射概形(affine scheme)。这个仿射概形便是格罗滕迪克心目中最基本的“抽象的几何对象”。一朝有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的议论就或者摇荡为对放荡交换环的代数议论，这样就将极地面拓展这种新几何的适用范围，终了东说念主们长期以来心荡神驰的将代数几何与代数数论统一说念来的逸想。

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图19：仿射概形的基本想法

这个构想仿射概形的历程有点访佛于谢意金和韦伯从复数域的有限膨胀开拔来构造抽象的“代数弧线”一样。格罗滕迪克通过构造一种访佛于仿射簇那样的抽象的几何对象“仿射概形”，使得每一个交换环都成为了这种仿射概形的坐标环。咱们不错这样来示意这些对应关系：

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1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的海外数学家大会上作了一个答复。他的这个答复预报了其畴昔十年的使命，相等于是给出了浩繁的概形表面的提纲。其后被誉为“代数几何的圣经”的八卷《代数几何学旨趣》(简称EGA)，便是格罗滕迪克在1960-1967年间按照这个提纲来写的。

仿射概形具体的构造历程是这样的：最先设 是一个放荡的交换环，记 为 中悉数素期许的王人集，则 便是咱们所需要的“几何空间”，它上头的每一个“点”都是一个素期许。

接下来不错界说在这个“几何空间”上的函数。对于每个“点”(即素期许) ，记 为整环 的商域，那么交换环 的每一个元素 都不错按如下的神气被以为是一个 上的函数：咱们界说 是 在镶嵌映射 下的像。举例当 属于素期许 时，它在该镶嵌映射下的像是域 中的零。为了阐发这里界说的函数照实是曩昔经典仿射簇 上多项式函数的履行，咱们不错令 是 的坐标环，况且令 是一个极大期许(由希尔伯特零点定理知说念 代表一个点)，那么此时就有 ，而从以上的界说可知 的元素 在 点处的值其实便是传统意旨上的多项式函数值。

有了函数，咱们就不错界说 中的“代数集(即零点集)”了。设 (即 是一些函数的王人集)，则 的“代数集”的是

然后就和曩昔一样，将在 中的补集都界说为“开集”，于是就有了“几何空间” 上的“扎里斯基拓扑”。

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构造仿射概形的终末一步是界说 上的“结构层” ，其基情愿趣与在经典仿射簇顶用克鲁尔的局部环来形成结构层的作念法是访佛的，只是推导的历程相比繁复。这样，“几何空间” 与“结构层” 一说念就构成了一个环层空间 ——它便是“仿射概形”。不错诠释，当是坐标环时，这里界说的“结构层”一定便是仿射簇 的传统意旨上的结构层，从而咱们不错说仿射概形是仿射簇的履行。

在有了以上对于仿射概形的霸术成见后，格罗滕迪克就或者界说概形了。在知名的EGA的第一卷第一章中，咱们看到底下的两个界说：

“

（2.1.1）设有一个环层空间 ，所谓 的一个开子集 是一个仿射开集，是指环层空间 是一个仿射概形（1.7.1）。界说（2.1.2）——概形是指这样的环层空间，它的每一个点都有一个仿射开邻域。

”

格罗滕迪克在前一个界说里所说的“仿射开集”与后一界说中的“仿射开领域”的含义是一样的。换句话说，概形便是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也不错将概形毛糙地贯通为是将一些仿射概形经过相宜的“粘贴”后而得到的。由于仿射概形是仿射簇的履行，因此很光显：概形照实是经典代数簇的抽象履行。

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图20：格罗滕迪克写的《代数几何学旨趣》(EGA) 第一卷的中译本

格罗滕迪克的概形表面将代数几何打形成了一个在很猛进程上将几何、代数、数论与分析完好统一说念来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何表面所莫得的优点。举例在概形上，不错有严格的“一般点(generic point)”、“基变换(change of bases)”、以及“幂零元(nilpotent element)”等绝顶有效的成见，况且不错用精致的抽象代数的按序来议论几何对象的各式抽象的“几何性质”，这样就为惩办一广泛枢纽的经典数学问题开采了说念路。通常在概形上，咱们不错作念悉数的在经典代数簇上也曾作念过的事情，举例不错界说广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，不错有层的上同珍视论(包括Serre的对偶定理等)，不错建立严格的代数簇分类表面和和一般的黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交表面(包括周环和陈类)等等。在概形上也或者作念曩昔根柢无法作念到的事情，举例不错构造模空间的严格表面，尤其是不错建立或者应用于数论的“算术代数几何”表面等。

在写完毕EGA之后，格罗滕迪克和他的互助者们又一说念马不绝蹄，连续撰写书名简称为SGA的另外八卷系列的代数几何专著。就这样，通过总篇幅达7500页的EGA和SGA这两套书的写稿，格罗滕迪克在20世纪60年代末，终于将经典的代数簇表面履行成了适用面更广的概形表面，的确为悉数这个词代数几何建立起了一个平定的逻辑基础，况且透彻重写了代数几何。

不外，先进的概形表面并不虞味着它是容易掌持的。恰恰相背，东说念主们需要付出巨大的发奋，还需要掌持大量的交换代数与同调代数，智商够的确贯通和掌持概形表面。往往在经典代数几何中是寥寥数语的事情，到了概形表面中敷陈就相比长。举例前边也曾说过，在概形表面所接受的扎里斯基拓扑中，莫得豪斯多夫的分离性公理，因此在试验需要议论代数簇的分离性质的时候，就需要用相比复杂的映射性质来间接地刻画分离性。

在今天，若是要让咱们胜仗通过阅读格罗滕迪克的EGA来学习概形表面的话，是有许多贫瘠的。主要的问题还在于它的极点一般的抽象性，以及它的篇幅巨大。好在代数几何学家哈茨霍恩(Hartshorne)在1977年写了一册极好的议论生教材《代数几何》（有科学出书社的中译本），它不错作为是EGA的一个浓缩简写本。

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图21：哈茨霍恩写的《代数几何》中译本

九、概形表面鞭策了代数几何的大发展

代数几何学家西里贝托（C. Ciliberto）曾说：“自然概形开头于代数簇及它们之间的映射，但不错说在代数几何中其实到处都有概形，举例概形不错作为映射的像、映射的纤维，以及用来作为对射影空间中的代数簇进行参数化的模空间等等。东说念主们慢慢发现概形和凝合层的上同调恰是进一步发展代数几何所需要的最合适的话语，这种话语也曾是德国粹派和意大利派别所伏击期许的。格罗滕迪克的概形表面绝对终显现范德瓦尔登、韦伊和扎里斯基要为代数几何打造一个坚实严格的逻辑基础的逸想，他们也曾绝顶紧急地但愿创造一种或者同期描摹代数簇的拓扑性质和的算术性质的新的广泛性话语。”（见《Development of Mathematics(1950-2000)》一书）。

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图22：中年和晚年的格罗滕迪克

其后的历史发展诠释，当经典代数几何的逻辑基础问题被透彻惩办后，代数几何便立即在20世纪的后半叶取得了巨猛施展。底下列举了一些通过利用概形表面而得回的首要着力：

1．芒福德(Mumford)建立了一般模空间的表面；2．广中平佑惩办了放荡维数代数簇的奇点解消问题；3．德利涅(Deligne)诠释了数论中韦伊猜想；4．法尔廷斯(Faltings)诠释了数论中的莫德尔(Mordell)猜想；5．森重文在3维代数簇的分类议论中取得了要道性的打破；6．怀尔斯(Wiles)诠释了数论中知名的费马大定理。

不仅如斯，伴跟着这些首要问题的惩办历程，同期又出现了一广泛全新的数学议论领域，其中尤其令东说念主想不到的是概形表面对于数学物理的议论所产生的巨大鞭策作用，而在量子场论中出现的许多新念念想（举例弦表面、镜像对称和量子上同调等），反过来又促进了对代数簇的拓扑和计数几何的议论。

最近，胥鸣伟本分在他刚出书的《代数几何课本》（高档锻练出书社2021年）一书中这样写说念：“从黎曼，到主要以结式为用具，处理可构造性问题的经典派别，到具很强直不雅性的意大利派别，再到建立严格基础的扎里斯基，范德瓦尔登，韦伊，终末到了格罗滕迪克的概形表面：这是一个艰深的极具威力的表面，是20世纪数学的最伟大配置之一，于今仍连续上前发展，深入到许多领域。在本书中，咱们试图沿这条门道游览一遍，为进一步议论更深的代数几何相干内容打好基础，诸如代数几何的根柢问题：分类（包括当今热门的双有理几何），与表面物理（举例超弦表面）紧密相干的模簇表面，与数论相干的算术代数几何（即在Q，Z或有限域上的代数几何），与K表面相干的周环表面，等等。总之，代数几何是当代数学，极端是表面数学的最枢纽的基础之一，它将为你提供念念考数学问题的另一种刚硬平台。”

东说念主们常说格罗滕迪克“有一种对于数学可能是什么的瀽瓴高屋般的不雅点”。数学家巴斯(Bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“六合般普适”的不雅点改换了悉数这个词数学的全貌。咱们不妨不错简便地将代数几何作为是“用多项式议论几何、用几何的想法议论多项式”的学科。极端是从代数几何中体现出来的代数与几何互相作用的神气，具有广泛的意旨，咫尺这种念念想按序仍是渗入到了险些悉数的当代数学各主要分支学科中。

文稿|陈跃裁剪|朱善军bad news 丝袜

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